从（1）式和（2）式的比较可见，σ2 = 2σ1

     因此，在薄壁圆筒形容器的计算中，用环向应力公式计算壁厚。

3． 旋转薄壁容器的应力分析

3．1 薄壁壳体的一般方程式

　　　上述是圆筒的例题，本节将分析一般的旋转薄壳体的应力。图10是受内压力作用下的旋转薄壳的应力分布图，任取微元A，其经线长度为ds1，曲率半径为r1，纬线长度为ds2，曲率半径r2，ds1对应的中心角为dθ1，

ds2对应中心角为dθ2，经向应力为σ1，

纬向应力为σ2，作用在微元A上压力P的合力为：

    

     与ΣP平衡的内力是由微元的四个周边截面的应力在合力ΣP方向投影的应力和来承担，即：

     ΣP =2 F1 +2 F2

    

    

式中：F1 和F2 分别为纬向和经向应力在法向投影的合成力，根据力的平衡条件，可得：

 

因为：和，代入上式并简化后得：

--------------------------------- （3）

式（3）就是薄壁壳体压力与应力的关系的方程式，称为拉普拉斯方程式。

式中：P- 内压力；σ1--经向应力；σ2-- 环向应力；r1—经线曲率半径（第一曲率半径）；r2-纬线曲率半径（第二曲率半径）。

     r1 根据经线方程确定，若经线方程为：f(x),则可按下式求出r1

       ------------------------  （4）

式中:   y1 – 为f(x)的一阶导数

　　　　y11 –为f(x)的二阶导数

--------------------------- --  (5)

式中：r为中心圆半径。为微元的法线与旋转轴y的夹角。

3．2  经向应力σ1和环向应力σ2的计算

     方程式（3）存在经向应力σ1和环向应力σ2，因此要求通过几何关系建立第二个式子，求出经向应力σ1。

3．2．1经向应力σ1 

　　以垂直轴线的平面将壳体切开成两部分，保留其上部，所切平面为直径D=2R的中心圆（图11），根据压力和应力的平衡条件，压力P产生的总向上力ΣP与截面产生的经向应力σ1在Y轴上的总分应力平衡。即：

            

    

根据平衡条件得：

因，代入上式得：

简化后得：------------------------------- （6）

或为：  --------------------------- （61）

3．2．2 环向应力σ2

   根据经线方程式（4）求出r1，和根据式（6）求出的经向应力σ1，一并代入式（3），则可求出环向应力σ2。

4． 应用举例

4．2 圆筒形壳体

4．1．1经向应力σ1 

　　　圆筒形壳体的经线为旋转轴的平行线，圆筒的直径D=2r。=900，sin=1.

　　故按式（6）得：

4．1．2环向应力σ2

      在（3）式中；，因圆筒的经向曲率半径，故

 因此（3）可简化为   因，故可得：

         

如令，，则上式可得：

          

4．2  球壳

     化工容器的球形容器和球形封头均属球壳，它的特点是

故代入（3）式后得：

4．3 椭

 

 

 

 

 

 

 

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