因此定理已证明。
根据上述定理，ΣPX 仅与圆筒的横截面积有关，与封头的曲面形状无关。
故对压力P作用的直径为D的容器的轴向的作用力ΣPX 为：
               
  由于壁薄，可将沿壁厚的轴向应力σ1看成是均匀分布的，应力的总和与轴向的合力平衡，得：
     
       ------------------------------------------------(1)
式中：D - 圆筒的平均直径，D = DI +δ
       δ- 计算厚度。
2．2 环向应力的计算
     求解环向应力，仍采用“截面法”，设想将圆筒沿轴线剖开，将圆筒分成相等的两部分，考察其中任一部分的平衡（图9）。根据在Y轴方向的平衡条件，
设压力P在Y轴方向的投影之和为ΣPY，在圆筒上环向应力σ2的总和为N2，其中：
    
     积分 
     故：ΣPY = D·P·L ( 此式可直接用上述定理得到)
     由于σ2沿壁厚δ和长度L的分布及大小均相等，故N2 与σ2 的关系如下：
　　　　　N2 = σ2·2·δ·L
    根据内力和外力的平衡条件，得：
        σ2·2·δ·L = D·P·L
          ------------------------- （2）
     从（1）式和（2）式的比较可见，σ2 = 2σ1
     因此，在薄壁圆筒形容器的计算中，用环向应力公式计算壁厚。
3． 旋转薄壁容器的应力分析
3．1 薄壁壳体的一般方程式
　　　上述是圆筒的例题，本节将分析一般的旋转薄壳体的应力。图10是受内压力作用下的旋转薄壳的应力分布图，任取微元A，其经线长度为ds1，曲率半径为r1，纬线长度为ds2，曲率半径r2，ds1对应的中心角为dθ1，
ds2对应中心角为dθ2，经向应力为σ1，纬向应力为σ2，作用在微元A上压力P的合力为：
    
     与ΣP平衡的内力是由微元的四个周边截面的应力在合力ΣP方向投影的应力和来承担，即：
     ΣP = 2 F1 + 2 F2
    
    
式中：F1 和F2 分别为纬向和经向应力在法向投影的合成力，根据力的平衡条件，可得：
 
因为：和，代入上式并简化后得：
　　　 --------------------------------- （3）
式（3）就是薄壁壳体压力与应力的关系的方程式，称为拉普拉斯方程式。
式中：P- 内压力；σ1--经向应力；σ2-- 环向应力；r1—经线曲率半径（第一曲率半径）；r2-纬线曲率半径（第二曲率半径）。
     r1 根据经线方程确定，若经线方程为：f(x),则可按下式求出r1
       ------------------------  （4）
式中:   y1 – 为f(x)的一阶导数
　　　　y11 –为f(x)的二阶导数
　　　　 --------------------------- --  (5)
式中：r为中心圆半径。为微元的法线与旋转轴y的夹角。
3．2  经向应力σ1和环向应力σ2的计算
     方程式（3）存在经向应力σ1和环向应力σ2，因此要求通过几何关系建立第二个式子，求出经向应力σ1。
3．2．1经向应力σ1 
　　以垂直轴线的平面将壳体切开成两部分，保留其上部，所切平面为直径D=2R的中心圆（图11），根据压力和应力的平衡条件，压力P产生的总向上力ΣP与截面产生的经向应力σ1在Y轴上的总分应力平衡。即：
            
    
根据平衡条件得：
因，代入上式得：
　　　　
简化后得：------------------------------- （6）
或为：  --------------------------- （61）
3．2．2 环向应力σ2
   根据经线方程式（4）求出r1，和根据式（6）求出的经向应力σ1，一并代入式（3），则可求出环向应力σ2。
4． 应用举例
4．2 圆筒形壳体
4．1．1经向应力σ1 
　　　圆筒形壳体的经线为旋转轴的平行线，圆筒的直径D=2r。=900，sin=1.
　　故按式（6）得：
4．1．2环向应力σ2
      在（3）式中；，因圆筒的经向曲率半径，故
 因此（3）可简化为   因，故可得：
         
如令，，则上式可得：
          
4．2  球壳
     化工容器的球形容器和球形封头均属球壳，它的特点是
故代入（3）式后得：
4．3 椭球壳（椭圆封头）
    椭圆封头是由四分之一的椭圆曲线绕主轴旋转一周而成，其截面为半椭圆，应力计算用（3）式，式中的关键是经线曲率半径r1和纬线曲率半径r2的确定，
4．3．1  曲率半径r1和r2
　　　　曲率半径r1可根据（4）式和椭圆的经线方程确定：
　　　　 式中a和b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，x和y分别代表椭圆曲线上任一点的横坐标和纵坐标（图12）。令k=a/b，椭圆方程稍加变化后，可得：
　　　　  ----------------------------------------（a）
其一阶导数为：  ----- （b）


（b）的二阶导数为：
                     --   
 
 
 
 
 
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